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Mathematik LK 12 / I 1.Klausur 24.10.01
 

Name:

Skisprungschanzen

Die Bahnen der Anlaufspuren und die Form der Aufsprunghügel lassen sich

mit Hilfe mathematischer Funktionen beschreiben und analysieren.
Sie werden in der Klausur nur den Aufsprunghügel diskutieren
 
 
Achtung: Keine Angst vor "krummen“ Werten
 
Aufgabe 1) Der Aufsprunghügel einer Großschanze lässt sich in erster
                    (relativ grober) Näherung durch eine einzige Funktion beschreiben.
                                h(x) =     D = [ 0 , 150 ]
                        

            a) Bestimmen sie die mittlere Steigung zwischen dem Beginn des Aufsprunghügels

                  und der "Risikostelle“ bei x = 100 !
            b) Die größte Steigung hat der Aufsprunghügel etwa bei x = 70, bestimmen sie
                die Steigung an dieser Stelle ! Um welche Stelle im mathematischen Sinn
                handelt es sich ?
            c) Skizzieren sie grob den Verlauf der Ableitungsfunktion (graphisches Ableiten von h)
            d) Welche Höhendifferenz Çy hat der Aufsprunghügel im Bereich zwischen x = 70 m und
                x = 80m? Lösen sie exakt und mit Hilfe einer geeigneten Abschätzung (Ableitung!)
            e) Geben sie die innere und die äußere Funktion von h an und diskutieren sie
                die Aufgabe d) schrittweise für die innere und die äußere Funktion.(nur Abschätzung!).
            f) Interpretiereren sie ihr Ergebniss aus e) und d) im Hinblick auf eine wichtige Regel!
            g) Die Funktion h lässt sich etwas komplizierter auch als
                h(x) =schreiben.
                Leiten sie die Funktion mit Hilfe der Quotientenregel ab.
                Vergleichen sie mit der Ableitungsfunktion wie sie sie in b) bestimmt haben!
                Können sie die Ergebnisse durch Termumformung zur Deckung bringen?

 
 
 

Aufgabe 2) Siehe auch Anlageblatt "Skisprunganlage“

Wesentlich exakter und dem ursprünglichen Vorgehen der Konstrukteure der Schanze näher,

ist es den Aufsprunghügel aus zwei Funktionen "zusammen zu bauen“.
Hierbei wird der obere Teil (zwischen Schanzentisch und Risikopunkt bei x = 100)
als Funktion dritten Grades entworfen, der untere Teil (der Bereich zwischen dem
Risikopunkt und dem Auslauf) als Kreisbogenstück.
Funktionsvorschrift des Kreisbogenstücks: (bezüglich des vorgegebenen Koordinatensystems)
k(x) =     D = [100 ; 150]


 

            a) Bestimmen sie die Steigung an der Risikostelle x = 100 ( Resultat: m = -0,7) .

                Für die weiteren Aufgaben verwenden sie diesen gerundeten Wert!)
            b) Ermitteln sie die Funktion dritten Grades f so, dass sie den Vorgaben auf
                dem Anlagenblatt entspricht und sie die Funktion k
                am R -Punkt gleichmäßig fortsetzt.
                Empfehlenswert ist die Nutzung des vorgegebenen Koordinatensystems!
                ( Resultat: f(x) =)
            c) Am Landepunkt L ist die Steigung des Aufsprunghügels maximal,
                bestimmen sie seine Koordinaten.
            d) Der K-Punkt (bei x = 87,5) gibt so etwas wie die Normweite der Schanze an.
                Die Schanzenrekorde liegen meist im Bereich des R-Punktes.
                Man misst die Sprungweite als (geradlinige) Entfernung zwischen der Oberkante
                des Schanzentisches der Aufsprungstelle.
                Ermitteln sie die Sprungweite zum L, K, und R- Punkt.
            e) Welche Höhe hätte der Aufsprunghügel, wenn man ihn statt in Bogenform,
                tangential zur Kurve am L Punkt fortsetzen würde?
                (Tangente zur Funktion f am Punkt L)
            f) Ist der Betrag der Steigung geringer als 0,5 ist die Landung lebensgefährlich.
                In welchen Bereichen des Aufsprunghügels ist das der Fall?