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Unterrichtsplan
 
 
 
 

Name.............................:Andreas Wind

Schule............................:Geschwister-Scholl-Schule, Solingen-Ohligs

Klasse............................:11 G-Kurs

Fachlehrer......................: xxxxxx

Datum.............................:22.5.00

Zeit..................................:12.30 - 13.15 (6. Stunde)
 
 
 
 

Thema der Unterrichtsreihe: Einführung der Differentialrechnung

Thema der Unterrichtsstunde: Entwicklung einer Extremwertaufgabe
 
 



 

Voraussetzungen

Allgemeine Bemerkungen

Bei der Lerngruppe handelt es sich um einen gemischten Kurs aus 18 SchülerInnen. Die Arbeitsatmosphäre ist meist entspannt, aber auch konzentriert. Problematisch ist die große Inhomogenität im Leistungsvermögen und Wissensstand. Einige SchülerInnen sind nach meinem Empfinden mit den Anforderungen der Oberstufe schlicht überfordert, besonders da im Unterricht nur begrenzt Zeitreserven zur Wiederholung elementarer Sekundarstufe I-Wissensbestände bestehen. Problematisch ist bei einigen SchülerInnen auch die häufige Abwesenheit, was natürlich zu großen Wissenslücken führt. Diesen stehen einige sehr leistungsstarke und motivierte SchülerInnen entgegen, denen auch im Hinblick auf den LK etwas geboten werden muss. Die geschilderte Problematik ist wahrscheinlich für „Elfer-Kurse“ typisch.
Ich möchte betonen, dass ich diesen Kurs dennoch sehr gerne unterrichte.

 

Zum Wissensstand

Die Schüler haben im Laufe der Reihe gelernt, wie sich die Tangentensteigung als Grenzwert der Sekantensteigung bestimmen lässt, hierbei wurde auch das Hilfsmittel der Polynomdivision eingeführt. Im weiteren Verlauf wurden die Ableitungsregeln für Polynome gefunden, sowie Kriterien für Extremstellen entwickelt. Im Zuge dieser Überlegungen musste auch das Finden von Nullstellen thematisiert werden, wobei wiederum die Polynomdivision zum Tragen kam.
Im Laufe der Reihe wurden einige Knackpunkte offenbar, wobei ich als wesentlichen und entscheidenden Punkt das Verständnis des funktionalen Zusammenhangs nennen möchte. Die Idee und Formalisierung des funktionalen Zusammenhangs, also das eigentliche Thema der Klasse 11 und nebenbei bemerkt, wohl auch der gesamten Mathematik, stellt für nicht wenige SchülerInnen eine Schallmauer des Verstehens dar, dies zeigt sich auch in höheren Klassen. In Folge dieser Verstehensgrenze müssen die von mir beobachteten Probleme beim:
        - Zeichnen und Analysieren von Graphen
        - Bestimmen von Funktionswerten , Nullstellen, etc.
        - Aufstellen und Analysieren von linearen Funktionen (Thema der 11!)
geradezu zwangsläufig auftreten. Abhilfe bei diesem Problem kann, wenn überhaupt, nur das unverdrossene Aufnehmen dieser Schwierigkeiten in immer neue Zusammenhänge leisten.

 

Inhaltliche Entscheidungen

Da die Unterrichtsreihe am Punkt „Bestimmung von Extremstellen“ angelangt ist, bietet sich eine Anwendungsaufgabe, also eine „Extremwertaufgabe“ an. Um einerseits den Vorgaben des Lehrplanes nach kontextorientierten Vorgehen, andererseits dem Leistungsvermögen der Schüler gerecht zu werden, habe ich mich für ein eher einfaches, an die aktuelle Steuerdiskussion anknüpfendes, Beispiel entschieden.

Zentral an der Bearbeitung dieses Beispiels soll weniger die Lösung der Extremwertaufgabe, als vielmehr die Problematisierung und Mathematisierung des Beispiels sein. Insbesondere bietet sich bei der Bearbeitung des Problems immer wieder die Gelegenheit funktionale und besonders auch lineare Zusammenhänge aufzustellen und zu analysieren.
Kurze Darstellung der Aufgabe:
In Anlehnung an das Steuermodell der Bundesregierung wird ein vereinfachtes Steuermodell vorgeschlagen daskeinen Freibetrag und vor allem keinen Spitzensteuersatz kennt, sondern einfach linear wächst. Offensichtlich muss ab einem gewissen Bruttoeinkommen das Nettoeinkommen bei weiterer Steigerung des Bruttoeinkommens sinken. Aufgabe der Schüler ist die Berechnung des Steuersatzes, das Erkennen des Problems, die Berechnung und qualitative graphische Darstellung des Nettoeinkommens abhängig vom Bruttoeinkommen und letztlich die Berechnung der „Ungerechtigkeitsstelle“  (die Extremwertaufgabe). Einen weiteren Vorteil der Aufgabe sehe ich in den vielfältigen Möglichkeiten das Problem zu modifizieren und mathematisch auszuwerten.
Methodische Entscheidungen
Ich habe mich für einen Wechsel aus Unterrichtsgespräch und lockerer Einzelarbeit (also mit Beratungsmöglichkeit mit den Nachbarn) entschieden. Das Unterrichtsgespräch bietet mir die Möglichkeit die Problematisierung zur gesuchten Extremwertaufgabe zu lenken und den Schülern auch eine gewisse Struktur ihrer Notizen zu ermöglichen. Von der Einzelarbeit erhoffe ich mir selbstständige Teillösungen, außerdem bietet sie mir eine gewisse Lernzielkontrolle.

 
 

Lernziele

Lernziel ist, global formuliert, das Erlernen einer geeigneten Mathematisierung eines Problems.

In dieser Stunde tauchen folgende Einzelziele auf:
    - Wiederholen der Zinsrechnung
    -Aufstellen einer Geradengleichung wiederholen
    - Aufstellen einer Bestimmungsfunktion erlernen
    - Qualitative Beschreibung von Funktion üben
    - Ableitung und Bestimmung einer Extremstelle der Funktion üben
Daneben erhoffe ich mir ein gewisses Interesse an dem aktuellen und scheinbar so trockenen Thema Steuerpolitik zu wecken.

 
 

Didaktischer Schwerpunkt:

Anhand eines Beispiels soll die Formulierung und Auswertung funktionaler Zusammenhänge durchsichtig gemacht und die Rolle der Differentialrechnung in diesem Zusammenhang demonstriert werden.
 


 
Verlaufsplan
 


Struktur
Inhalt 
Methodisches
Medien
Bemerkungen
Einstieg Unterrichtsthema
Rückblick auf das Erreichte
Vorstellung des Themas 
Austeilen des Übungsblattes
Lehrervortrag
. .
Entwicklung der Problemstellung

Mathematisierung

Fragen zum Arbeitsblatt

Lösungsversuche der Aufgaben 

UG

Einzelarbeit

Arbeitsblatt
Vermutlich wird Hilfestellung des Lehrers erforderlich
Präzisierung

und Problematisierung 

Sammlung und Systematisierung der Lösungsvorschläge der Schülerinnen

Entwicklung der „Nettofunktion“ 

 
UG
OH 

Tafel

Die genaue Ausgestaltung dieser schwierigen Phase ist nicht genau planbar
Problemstellung

 

Die Extremwertaufgabe als Essenz der Problematisierung
UG
evtl. Tafel

 

.
Problemlösung
Bestimmung der Hochstelle der 
Nettofunktion
Lösungsvergleich
Einzelarbeit
Heft
Die Lösung kann bei Zeitmangel auch HA sein
UG
Tafel
Erweiterung des
Problems
evtl. Betrachtung mit Grundfreibetrag
oder Spitzensteuersatz am Hochpunkt
Nettofunktion ist dann dort nicht ableitbar!
 . .
Die erste Option ist auch eine geeignete Hausaufgabe 

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